X2檢驗

　　X²（稱卡方)檢驗用途較廣，但主要用于檢驗兩個或兩個以上樣本率或構(gòu)成比之間差別的顯著性，也可檢驗兩類事物之間是否存在一定的關(guān)系。

　　一、兩個率的比較

　�。ㄒ�)X²檢驗的基本公式　下頁末行的例3.1是兩組心肌梗塞病人病死率的比較，見表3.5，其中對照組未用抗凝藥。兩組病人的病死率不同，抗凝藥組為25.33%，對照組為40.8%。造成這種不同的原因可能有兩種：一種是僅由抽樣誤差所致；另一種是兩個總體病死率確實有所不同。為了區(qū)別這兩種情況，應(yīng)當(dāng)進(jìn)行X²檢驗。其基本步驟如下：

　　1．首先將資料寫成四格表形式，如表3.6。

　　將每個組的治療人數(shù)分為死亡與生存兩部分，各占四格表中的一格，這些數(shù)字稱為實際頻數(shù)，符號為A，即實際觀察得來的數(shù)字。

　　2.建立檢驗假設(shè)　為了進(jìn)行檢驗，首先作檢驗假設(shè)：兩種療法的兩總體病死率相等，為35%（即70/200)，記為H₀：π₁=π₂。即不論用或不用抗凝藥，病死率都是35%，所以亦可以換一種說法：病死率與療法無關(guān)。

　　上述假設(shè)經(jīng)過下面步驟的檢驗后，可以被接受也可以被拒絕。當(dāng)H₀被拒絕時，就意味著接受其對立假設(shè)即備擇假設(shè)H₁。此例備擇假設(shè)為兩總體病死率不相等，記為H₁：π₁≠π₂

　　因為我們觀察的是隨機(jī)現(xiàn)象，所以無論是接受或拒絕H₀都冒有一定風(fēng)險，即存在著錯判的可能性。一般要求，當(dāng)錯誤地被拒絕的概率α不超過一定的數(shù)值，如5%（或0.05)，此值稱為檢驗水準(zhǔn)，記為α=0.05。

　　3．計算理論頻數(shù)　根據(jù)“檢驗假設(shè)”推算出來的頻數(shù)稱理論頻數(shù)，符號為T。計算方法如下：假設(shè)兩總體病死率相同，都是35.0%，那么抗凝血組治療75人，其死亡的理論頻數(shù)應(yīng)為75×35.0%=26.25人，而生存的理論頻數(shù)為75-26.25=48.75人。用同樣方法可求出對照組的死亡與生存的理論頻數(shù)，前者為43.75人。后者為81.25人。 然后，把這些理論頻數(shù)填入相應(yīng)的實際頻數(shù)格內(nèi)，見表3.6括號內(nèi)數(shù)字。

　　計算理論頻數(shù)也可用下式（3.4)

　　T_RC=n_Rn_C/N (3.4)

　　式中，T_RC為R行與C列相交格子的理論頻數(shù)，n_R為與計算的理論頻數(shù)同行的合計數(shù)，n_C為與該理論頻數(shù)同列的合計數(shù)，N為總例數(shù)。

　　例如；表3.6第一行與第一列相交格子的理論頻數(shù)（T_1１)為

　　T_1１＝ 75×70/200=26.25

　　用兩種方法計算，結(jié)果是相同的。

　　4．計算χ²值，計算χ²值的基本公式為：

　　X²=∑（A-T)²/t 　（3.5)

　　式中，A為實際頻數(shù)，T為理論頻數(shù)，∑為求和符號。

　　將表3.6里的實際頻數(shù)與理論頻數(shù)代入式（3.5)即求得χ²值。此例χ²=4.929。

　　從式3.5中可看出，實際頻數(shù)與理論頻數(shù)之差（A-T)愈小，所得的χ²值就愈小，理論頻數(shù)是根據(jù)檢驗假設(shè)推算出來的，若與實際頻數(shù)相差不大，說明假設(shè)與實際情況符合，于是就接受H₀，認(rèn)為兩病死率無顯著差別；反之，若（A-T)大，則χ²值亦大，說明假設(shè)與實際不符，就拒絕假設(shè)，認(rèn)為兩病死率有差別。但χ²值大還是小，要有一個比較的標(biāo)準(zhǔn)，要查χ²值表（附表1)，查χ²值表前先要定自由度。

　　5．求自由度　自由度是數(shù)學(xué)上的一個名詞。在統(tǒng)計中，幾個數(shù)據(jù)不受任何條件（如統(tǒng)計量，即樣本特征數(shù))的限制，幾個數(shù)據(jù)就可以任意指定，稱為有幾個自由度。若受到P個條件限制，就只有n-p個自由度了。例如在四格表中有四個實際頻數(shù)，如沒有任何條件限制，則4個數(shù)字都可任意取值，有4個自由度，當(dāng)a+b,，c+d，a+c，b+d都固定后，在a、b、c、d四個實際頻數(shù)中，只能有一個頻數(shù)可任意指定了，因此，四格表的自由度為1。其計算公式為：

　　ν=（R-1)（C-1) （3.6)

　　式中，ν為自由度，R為橫行數(shù)，C為縱列數(shù)。

　　四格表有2行和2列（注意：總計與合計欄不算在內(nèi))。因此ν=(2-1)(2-1)=1。

　　6．求P值，作結(jié)論　根據(jù)自由度查χ²值表（附表1)。此表的左側(cè)ν為自由度，表內(nèi)數(shù)字χ²值，表的上端P是從同一總體中抽得此樣本χ²值的概率。三者關(guān)系是：在同一自由度下，χ²值越大，從同一總體中抽得此樣本的概率P值越小；在同一P值下，自由度越大，χ²值也越大。χ²值與概率P呈相反的關(guān)系。χ²檢驗的常用界值為：

　　χ²<χ²_0.05（)P>0.05 在α=0.05水準(zhǔn)處接受H₀，差別不顯著

　　χ²_0.05≤χ²<χ²_0.01()0.05≥P>0.01 在α=0.05水準(zhǔn)處拒絕H_O，接受H₁，差別顯著

　　χ²≥χ²_0.01（)P≤0.01 在α=0.01水準(zhǔn)處拒絕H_O，接受H₁，差別顯著

　　這里α是預(yù)定的檢驗水準(zhǔn)。χ²_0.05（)是當(dāng)自由度為ν時與P=0.05相對應(yīng)的χ² 值，簡稱5%點，χ²_0.01（)是與P=0.01相對應(yīng)的χ² 值，簡稱1%點。

　　當(dāng)ν=1時，χ²_0.05（1)3.84，χ²_0.01（1)=6.63。本例自由度為1，求得χ²=4.929,介于3.84與6.63之間，或?qū)懗搔?SUP>2_0.05（1)<χ²<χ²_0.01（1)。由于與3.84對應(yīng)的縱行P=0.05，與6.63對應(yīng)的縱行P=0.01，因此與樣本χ²=4.929相應(yīng)的概率介于0.05與0.01之間，寫成0.05>P>0.01。在α=0.05水準(zhǔn)處拒絕H₀，接受H₁，兩總體率不等。對照組的病死率較抗凝血組高。

　　在α=0.05水準(zhǔn)處拒絕H₀，說明若在同樣情況下作100次判斷，將有5次或不到5次的機(jī)會，將原沒有差別的兩總體率錯判為有差別，或說這樣判斷犯I型錯誤的概率不超過5%。

　　下面將實例的檢驗步驟集中列出。

　　例3.1　兩組心肌梗塞病人的病死率可見于表3.5，其中對照組未用抗凝藥�？鼓�血組病死率為25.33%，對照組為40.80%，問兩組病死率有無顯著差別？

表3.5　兩組心肌梗塞病人病死率比較

　　檢驗步驟如下：

　　1．將資料列成四格表形式，如表3.6。

表3.6　四格表式樣

　　2．H₀：兩療法的總體病死率相同，即_π1=_π2

　　H₁：兩療法的總體病死率不同，即_π1≠_π2

　　α=0.05

　　3．求理論頻數(shù)

　　抗凝血組：

　　死亡人數(shù)為75×35.0%=26.25人

　　存活人數(shù)為 75-26.25=48.75人

　　對照組：

　　死亡人數(shù)為125×35.0%=43.75人

　　存活人數(shù)為 125-43.75=81.25人

　　把理論頻數(shù)填入相對應(yīng)的實際頻數(shù)格內(nèi)，見表3.6括號內(nèi)數(shù)字。

　　4．求χ²值 將表3.6里的數(shù)值代入式（3.5)得，

　　5．求自由度，確定P值，作結(jié)論

　　ν=（2-1)（2-1)=1，χ² _0.05（1)=3.84,χ² _0.01（1)=6.63,

　　本例χ² =4.929,χ² _0.05（1)<χ² <χ² _0.01（1)，則0.05>P>0.01，在α=0.05水準(zhǔn)處拒絕H₀，接受H₁，即兩總體病死率不等，對照組病死率較抗凝血組高。

　　上例告訴我們，兩個樣本病死率一大一小，在未作檢驗之前，很難說它們兩總體率是否有差別，為了作出正確判斷，作X²檢驗。先假設(shè)兩總體病死率相同，推算理論頻數(shù)，由實際頻數(shù)與理論頻數(shù)計算χ²值，二者相差越大，χ²值也越大。本例得χ²=4.929，根據(jù)自由度為1時的χ²分布推斷，從同一總體內(nèi)抽樣，出現(xiàn)χ²值等于或大于4.929的概率較小，每一百次中在5次以下，1次以上，因此檢驗假設(shè)被拒絕，而判斷為有顯著差別。

　�。ǘ�)連續(xù)性校正公式　χ²檢驗是以連續(xù)的光滑曲線做根據(jù)的，當(dāng)自由度為1時，χ²檢驗所得的概率容易偏低，因些需要校正，校正后的χ²值比不校正的小一些，校正公式是：

　　 （3.7)　

　　公式中A-T前后兩條直線是絕對值的符號。

　　將表3.5資料代入式（3.7)得：

　　檢驗兩個率相差的顯著性時（此時自由度為1)，理論上都可用校正公式。但當(dāng)用公式（3.5)求出的χ²值小于3.84時，相應(yīng)的P值大于0.05，表示兩個率相差不顯著，校正后χ²值更小，仍得同樣結(jié)構(gòu)，就無須校正；當(dāng)用未校正公式求出的χ²值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過3.84時，校正后的結(jié)論仍相同，在此種情況下也可不校正；當(dāng)自由度為2及以上時，則不必校正。

　　當(dāng)用公式（3.5)求出的χ²值略大于3.84時，校正最為必要，往往會改變原來的結(jié)論，舉例如下。

　　例3.2表3.7是六六六粉的兩種配方進(jìn)行野外煙劑滅黃鼠實驗的觀察結(jié)果。

表3.7　六六六粉兩種配方滅黃鼠的效果

　　現(xiàn)用公式（3.5)及式（3.6)分別計算χ²值如下：

　　校正后的χ²值小于3.84，P>0.05，在α=0.05的水準(zhǔn)處接受H₀，認(rèn)為兩種配方滅黃鼠效果無顯著差異，這相結(jié)論是比較合理的，如果不經(jīng)校正就會得出錯誤的結(jié)論。

　　（三)四格表中求χ²的專用公式　用上述基本公式（3.5)求χ²值，需要求出與實際頻數(shù)一一對應(yīng)的理論頻數(shù)，運算較繁。在四格表中，用下列專用公式較為簡便。

�。�3.8)

　　式中a、b、c、d為四格表中的實際頻數(shù)，N表示總例數(shù)（即N=a+b+c+d)。

　　現(xiàn)仍以表3.5資料為例，先寫成四格表形式，如表3.8。

表3.8　四格表求χ²值專用公式的符號

　　將實際頻數(shù)代入式（3.8)得，

　　這里用專用公式求得的χ²值與前面用基本公式求得的結(jié)果完全不同，有時這兩個公式求得的結(jié)果小數(shù)點后幾位可能稍有出入，這是由于受小數(shù)四舍五入的影響。

　　前面已介紹了連續(xù)性校正公式（3.7)，為使運算更為簡便，下面列出專用公式的連續(xù)性校正公式（3.9)，并以表3.8資料代入計算如下：

（3.9)

　　所得結(jié)果與式(3.7)求得的一致。

　　二、多個率或多個構(gòu)成比的比較

　�。ㄒ�)2×K表的專用公式，前面已討論了，兩個率的比較用四格表專用公式計算χ²值較為簡便。如果是多個率比較，就要列成2×K表。這里的K暫為所比較的組數(shù)，2為每個組內(nèi)所劃分的類型數(shù)。求χ²值時本可用基本公式計算，但以用下列專用公式為便：

　　　　　　　　　　　　 （3.10) （3.11)

　　　　　　　　表3.9　2×K表形式之一

　　公式中符號的意義參閱表3.9，以上兩個公式的計算結(jié)果是完全一樣的。

　　例3.3 某地觀察磺胺三甲氧吡嗪加增效劑（吡嗪磺合劑)預(yù)防瘧疾復(fù)發(fā)的效果，用已知有抗瘧疾復(fù)發(fā)效果的乙胺嘧啶和不投藥組作對照，比較三組的瘧疾復(fù)發(fā)率，資料如表3.10，問三組復(fù)發(fā)率有無顯著差別？

表3.10　三個組的瘧疾復(fù)發(fā)率

　　χ²檢驗步驟如下：

　　1．將表3.10資料寫成2×K表形式，見表3.11。注意：這里必須把各組的觀察例數(shù)分為復(fù)發(fā)和未復(fù)發(fā)兩部分，這樣表3.10就為寫成2×3表。

表3.11　三個組瘧疾復(fù)發(fā)率的比較

　　2．H₀：三個總體復(fù)發(fā)率相同

　　H_１：三個總體復(fù)發(fā)率不全相同

　　α=0.05

　　3．求χ²值 將表3.11的數(shù)值代入式（3.10)（因為在表3.11中，各組的a值較小，計算較方便)得：

　　4．求自由度，確定P值，作結(jié)論

　　ν=（K-1)（2-1)=（3-1)（2-1)=2，查χ²值表得χ²_0.01(2)=9.21，本例χ²=39.92>χ²_0.01(2)，P<0.01,在α=0.05的水準(zhǔn)處拒絕H₀，接受H₁，即三個組的復(fù)發(fā)率有顯著差別。

　　本例的結(jié)論是三個組的復(fù)發(fā)率有顯著差別，因此，還需進(jìn)一步說明三組中那兩組有差別，可用四格表對每兩個率進(jìn)行假設(shè)檢驗。本例的檢驗結(jié)果是：吡嗪磺合劑與對照組比（P<0.01)，乙胺嘧啶組與對照組比（P<0.01)，而吡嗪磺合劑與乙胺嘧啶比（P>0.05)，說明吡嗪磺合劑有預(yù)防瘧疾復(fù)發(fā)的作用，其效果不低于乙胺嘧啶。

　　本例2×K表的2是指得發(fā)、未復(fù)發(fā)兩項，K為比較的組數(shù)，K=3。如果比較組數(shù)只有2，而構(gòu)成每組的項數(shù)則多于2，如甲狀腺腫的型別構(gòu)成可分為彌漫型、結(jié)節(jié)型、混合型三種。這類資料亦同樣可用2×K表專用公式進(jìn)行檢驗。這時把2作為比較組數(shù)，K作為項數(shù)，檢驗方法同上，表3.12是2×K表的另一種形式。

表3.12　2×K表形式之二

　　例3.4，為研究不同地域甲狀腺型別的構(gòu)成有無顯著差別，某省對兩個縣的居民進(jìn)行甲狀腺腫調(diào)查，得資料如表3.13，問甲乙兩縣各型甲狀腺腫患者構(gòu)成比有無顯著判別？

表3.13　某省甲乙兩縣甲狀腺腫患者型別構(gòu)成比較

　　檢驗步驟如下：

　　1．H₀：兩總體甲狀腺腫型別構(gòu)成相同

　　H_1：兩總體甲狀腺腫型別構(gòu)成不同

　　α=0.05

　　2．求χ²值， 將表3.13中的數(shù)值代入式3.10得：

　　3．求自由度，確定P值，作結(jié)論。

　　ν=（3-1)（2-1)=2，查χ²值表得χ²_0.01(2)=9.21,本例，χ²=494.36，P<0.01,在α=0.05水準(zhǔn)處拒絕H₀，接受H₁，甲、乙兩縣甲狀腺腫型別構(gòu)成有差別（P<0.01)。甲縣以彌漫型為主，而乙縣結(jié)節(jié)型較多，地域與患者的型別構(gòu)成具有一定的關(guān)系。

　　此類資料經(jīng)χ²檢驗作結(jié)論，如果不顯著，說明兩組資料的構(gòu)成比來自同一總體，沒有顯著差別。如果結(jié)論顯著，說明兩組的構(gòu)成比來自不同總體，差別有顯著性。同時要指出兩組構(gòu)成的主要區(qū)別。

　�。ǘ�)R×C表的通用公式當(dāng)資料的行數(shù)和列數(shù)都超過2時稱R×C表。對此種資料作假設(shè)檢驗時，可用基本公式（3.5),但運算較繁，如果用R×C表的通用公式計算χ²值，較為簡便。

　　　　　　　　　　　　　 （3.12)

　　式中，A_ij為i行第j列的實際頻數(shù)，n_i為第i行的合計數(shù)，n_j為第j行列的合計數(shù)，N為總頻數(shù)。

　　這個公式也系由基本公式（3.5)推導(dǎo)出來，式（3.12)也可用以求四格表、2×K表資料的X²值，故稱通用公式，用此公式不需計算理論頻數(shù)，與基本公式（3.5)相比，較為簡便。

　　例3.5某院肝膽外科在手術(shù)中觀察了膽結(jié)石的部位與類型得資料如表3.14,試分析兩者間有無關(guān)系存在？

表3.14　膽結(jié)石類型與部位的關(guān)系

　　檢驗步驟如下：

　　1．將表3.14資料寫成R×C表形式，見表3.15.

表3.15　膽結(jié)石類型與部位的關(guān)系

　　2．H₀：膽結(jié)石的類型與部位沒有關(guān)系

　　H₁：膽結(jié)石的類型與部位有關(guān)系

　　α=0.01

　　3．求χ²值 將表3.15數(shù)值代入式（3.12)得：

　　4．求自由度，確定P值，作結(jié)論。

　　ν=（3-1)（3-1)=4，查χ²值表得χ²_0.01(4)=13.28，本例χ²=64.06<χ²_0.01。在α=0.01水準(zhǔn)處拒絕H₀，接受H₁，膽結(jié)石類型與部位有顯著關(guān)系存在（P<0.01),膽囊內(nèi)以膽固醇結(jié)石居多，肝內(nèi)、外膽管以膽紅素結(jié)石為主。